Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 13 \\ 21 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 3 x + 5 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 13 \\ 21 \end{array}]$

Étape 2

Write as a linear system of equations.

$2 x + 3 y = 13$

$3 x + 5 y = 21$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Résolvez $x$ dans $2 x + 3 y = 13$ .

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Étape 3.1.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = 13 - 3 y$

$3 x + 5 y = 21$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 13 - 3 y$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 13 - 3 y$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{13}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x + 5 y = 21$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{13}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x + 5 y = 21$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{13}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x + 5 y = 21$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x + 5 y = 21$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $3 x + 5 y = 21$ par $\frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$ .

$3 (\frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}) + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}) + 5 y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\frac{13}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $3 (\frac{13}{2})$ .

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Associez $3$ et $\frac{13}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 13}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Multipliez $3$ par $13$ .

$\frac{39}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{39}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $3 (- \frac{3 y}{2})$ .

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Étape 3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{39}{2} - 3 \frac{3 y}{2} + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{3 y}{2}$ .

$\frac{39}{2} + \frac{- 3 (3 y)}{2} + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{39}{2} + \frac{- 9 y}{2} + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{39}{2} + \frac{- 9 y}{2} + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{39}{2} - \frac{9 y}{2} + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{39}{2} - \frac{9 y}{2} + 5 y = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $5 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{39}{2} - \frac{9 y}{2} + 5 y \cdot \frac{2}{2} = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $5 y$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{39}{2} - \frac{9 y}{2} + \frac{5 y \cdot 2}{2} = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{39}{2} + \frac{- 9 y + 5 y \cdot 2}{2} = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{39 - 9 y + 5 y \cdot 2}{2} = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.6

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{39 - 9 y + 10 y}{2} = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.2.2.1.7

Additionnez $- 9 y$ et $10 y$ .

$\frac{39 + y}{2} = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{39 + y}{2} = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{39 + y}{2} = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{39 + y}{2} = 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.3

Résolvez $y$ dans $\frac{39 + y}{2} = 21$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{39 + y}{2}) = 2 \cdot 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{39 + y}{2}) = 2 \cdot 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$39 + y = 2 \cdot 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$39 + y = 2 \cdot 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$39 + y = 2 \cdot 21$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $2$ par $21$ .

$39 + y = 42$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$39 + y = 42$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$39 + y = 42$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $39$ des deux côtés de l’équation.

$y = 42 - 39$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $39$ de $42$ .

$y = 3$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = 3$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = 3$

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $3$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{13}{2} - \frac{3 y}{2}$ par $3$ .

$x = \frac{13}{2} - \frac{3 (3)}{2}$

$y = 3$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $\frac{13}{2} - \frac{3 (3)}{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2}$

$y = 3$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$x = \frac{13 - 9}{2}$

$y = 3$

Étape 3.4.2.1.2.2

Soustrayez $9$ de $13$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = 3$

Étape 3.4.2.1.2.3

Divisez $4$ par $2$ .

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

Étape 3.5

Indiquez toutes les solutions.

$x = 2, y = 3$